Pole powierzchni

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporzÄ…dkowujÄ…ca danej figurze nieujemnÄ… liczbÄ™ w pewnym sensie charakteryzujÄ…cÄ… jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Konstrukcja pojęcia pola

I Definicja

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

1. Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a_1$.
2. Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n_1$.

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$, itd. uzyskujemy ciąg liczb $n_1, n_2, ...$.
Polem powierzchni nazywamy granicÄ™:

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

• Zbiory

$\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y$ sÄ… wymierne $\left \} \right.$ oraz

$\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x$ jest niewymierny lub $\ {y}$ jest niewymierny$\left \} \right.$

są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.

• Istnienie nietrywialnej funkcji, którÄ… daÅ‚oby siÄ™ zmierzyć dowolnÄ… figurÄ™ i która dla dowolnego ciÄ…gu przeliczalnego rozÅ‚Ä…cznych figur dawaÅ‚aby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
• Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejÄ…ce przy zaÅ‚ożeniu aksjomatu wyboru) sÄ… niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
• Przy zaÅ‚ożeniu aksjomatu wyboru istnieje skoÅ„czenie addytywna miara mierzÄ…ca wszystkie podzbiory przestrzeni.
• Przy zaÅ‚ożeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych sÄ… mierzalne w sensie Lebesgue'a.
• JeÅ›li istnieje liczba mierzalna, to jest niesprzeczne że continuum jest rzeczywiÅ›cie mierzalne i że istnieje miara na pÅ‚aszczyźnie mierzÄ…ca wszystkie jej podzbiory.

Definicja szkolna

Definicja używana w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich.

1. Obieramy kwadrat o boku 1.
2. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostkÄ… pola.
3. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja niejawnie używa pojęcia granicy ciągu (jego części), pojęcia nie używanego. Definicja ta podaje dolne oszacowanie pola powierzchni figury dobrze sprawdza się w typowych wypadkach.

Pole pod krzywÄ…

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

$S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

Pola typowych figur

• RównolegÅ‚obok o bokach a i b oraz kÄ…cie α miÄ™dzy nimi: $S=ab\sin{\alpha}\,$
  • ProstokÄ…t o bokach a i b: $S=ab\,$; o przekÄ…tnej p i stosunku proporcji boków ratio: $S=\frac{p^2}{\frac{1}{ratio}+ratio}$
  • Kwadrat o boku a: $S=a^2\,$; o przekÄ…tnej p: $S=\frac{p^2}{2}$
• pole obszaru ograniczonego przez elipsÄ™ o półosiach a i b: $S=\pi ab\,$
• KoÅ‚o o promieniu r: $S=\pi r^2\,$
• TrójkÄ…t o podstawie a, wysokoÅ›ci h i kÄ…cie α miÄ™dzy bokami c i d: $S=\frac{ah}{2}=\frac{cd\sin{\alpha}}{2}$
• WielokÄ…t foremny (n - liczba boków, r – promieÅ„ okrÄ™gu wpisanego w wielokÄ…t, R – promieÅ„ okrÄ™gu opisanego, a – bok wielokÄ…ta):

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}$

• TrójkÄ…t równoboczny:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Zobacz też

• Wzór Picka